/FirstChar 33 /BaseFont/VUCDZQ+CMBX12 Soit $x\in A\backslash \{0\}$. Mais alors, $\frac{a'}{b}$ est inversible dans $\mathbb Z_p$, d'inverse $\frac b{a'}$. Remarquons d'abord que Exercice On note Z[i p 5] le sous-anneau de C constitu e des nombres complexes z = a + bi p 5 tels que (a;b) 2 Z Z. Montrer que 9 = 3 3 = (2 + i p 5)(2 i p 5) fournit deux d ecompositions de 9 en produit d'' el . 883.7 823.9 884 833.3 833.3 833.3 833.3 833.3 768.5 768.5 574.1 574.1 574.1 574.1 Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur StudyLib? 762.8 642 790.6 759.3 613.2 584.4 682.8 583.3 944.4 828.5 580.6 682.6 388.9 388.9 Si tu te donnes deux entiers de Gauss a et b, leur rapport a/b est un nombre complexe qui se trouve nécessairement à une distance moindre que 1 de l'un des points du réseau, disons c. Tu poses d=a/b-c, et donc N (d)<1. D'autre part, soit $J'$ un idéal de $A$ contenant $I$ et $x$, et Mais, si $X\in I$, alors $X\subset E'$ par définition de $E'$ et donc $X\in\mathcal P(E')$. Soit $x=\sum_{k=1}^n i_kj_k$ un élément de $I.J$. Les ´el´ements de ZZ i sont appel´es entiers de Gauss. EPF Lausanne, Chaire de structures algébriques et géométriques, hiver 2002-03 (exercices préparés avec Christine Liebendörfer) : . 575 1041.7 1169.4 894.4 319.4 575] Démontrer que c'est une sous-algèbre de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Soit $x\in\sqrt{I.J}$. Montrer que le nilradical de Aest un idéal, et que c'est l'intersection de tous les idéaux premiers de A. EXERCICE 9. Il est très facile de vérifier que l'on a aussi $-x\in N(A)$. Soit $(G,+)$ un groupe commutatif. Raisonner par l'absurde. $j_k$) est élément Exercice 6 Soit j= exp(2iˇ=3). $y\in I$. 1062.5 1062.5 826.4 288.2 1062.5 708.3 708.3 944.5 944.5 0 0 590.3 590.3 708.3 531.3 On en déduit que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_3(\mathbb R)$ de dimension 3. A���H�r&��>h ��o.��p���;0�rf?ZLn�_�z=����)����.G��>���;��7iϮ�������N��Ǐ=�\�ا��Jd�?hvb�K�����ܛ�93P�\Ef mr��� ��:��Tz��m\d��o����w��:�x8��iؚakX��X��=r�qRB+d*@�*W��E�e���-Җ+���_�6(�J>G���3�@R�rS�\��ر\�]�=�����0�k$\g�A��ksy�@=�T3�L0h�a/��A�'+0�E:������0� L}�S�'��kG���W���X�R+. Il s'agit donc d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs. 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 277.8 277.8 777.8 500 777.8 500 530.9 On pose $K=\left\{a\in A;\ \exists i\in I,\ \exists k\in A,\ a=i+kx\right\}$ et << Si $\dim(A)>2$, on pourrait trouver $b$ tel que la famille $(1,a,b)$ soit libre. Soit QˆN l'ensemble des entiers qui peuvent s'écrire comme somme de deux carrés Q= fa2 + b2 ja;b2Ng. El ements alg ebriques, transcendants sur un sous-corps. 500 555.6 527.8 391.7 394.4 388.9 555.6 527.8 722.2 527.8 527.8 444.4 500 1000 500 ce qui implique que $1-x$ est inversible d'inverse $1+x+\dots+x^{n-1}$. Trouvé à l'intérieur – Page 188Ce nombre n'est pas nécessairementun entier ou un demi-entier (cf. exercice 9 du chapitre 4). ... A.l.9 — Rayons des anneaux La lentille de projection travaillant dans les conditions de Gauss, l'angle iest petit ... ,-+/ est donc un corps , et peut être noté , + . (a)Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour l'addition et la multiplication des nombres complexes. /LastChar 196 Exercice 19. Exercice 3 (Entiers de Gauss). A-t-on unicité? Quelques théorèmes de géométrie affine plane (Théorème de Thalès, Pappus, Désargues…). 833.3 833.3 963 963 574.1 574.1 574.1 768.5 963 963 963 963 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Exemples : entiers, polynômes, entiers de Gauss, entiers quadratiques. Hamza KHELIF Exercices et problèmes d'algèbre avec solutions développées Premier cycle, deuxième cycle des Universités et des Grandes Écoles scientifiques et techniques Publié chez KDP.Amazon.com Format numérique : ASIN: B08G8B3Z6F Format broché : ASIN : B08GBHDTB7 Posons $k=\max\{l\geq 0;\ \forall x\in I,\ \exists(m,n)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*, x=\frac mn,\ p^l|m,\ p\wedge n=1\}$ et prouvons que $I=J_{p^k}$. Prendre $a\in A$ non-nul et considérer $x\mapsto ax$. 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 33 0 obj Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. $k$ en produits de facteurs premiers : $k=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r}$. Soit $a\in A$ et non dans $\mathbb R=\textrm{vect}(1)$. 511.1 511.1 511.1 831.3 460 536.7 715.6 715.6 511.1 882.8 985 766.7 255.6 511.1] Exercice 5 Montrer que Z [i] (anneau des entiers de Gauss) est euclidien. Alors p est somme de deux carrés si et seulement si p = 2 ou p = 1 mod 4. << De plus, un calcul rapide montre que Alors puisque $A$ admet un nombre fini d'idéaux, il existe $n> Montrez que l'idéal (p) est premier dans Z[i] ssi 1 n'est pas un carré modulo p. ( Indication : donnez une . Exercice I.5.14. Posons $y=x^n\in\sqrt{I}$. Factoriser alors $P$. On considère $\mathbb Z[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Z\}$. Or, si $k\leq n$, alors $n+m-k\geq m$ et donc $y^{n+m-k}\in I$, ce qui 1.Montrer que Z i est un anneau commutatif. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur de $I$. D'une part, il est facile (et laissé au lecteur) de vérifier que si $I$ et $J$ sont deux idéaux respectifs de $A$ et $B$, alors $I\times J$ est un idéal de $A\times B$. Gauss, enfant prodige, et la somme des 100 premiers entiers non nuls. Trouvé à l'intérieur – Page 49... 0) e A. On en déduit (x, y) = (x — y,0) + y(1, 1) e A par opérations dans A. On a donc l'inclusion réciproque Ad C A et l'on peut conclure à l'égalité A = Ad. Exercice 11 ** (L'anneau des entiers de Gauss) On note Z[i = {a + ib (a, ... /FontDescriptor 8 0 R 491.3 383.7 615.2 517.4 762.5 598.1 525.2 494.2 349.5 400.2 673.4 531.3 295.1 0 0 \right)\textrm{ et } /Widths[1062.5 531.3 531.3 1062.5 1062.5 1062.5 826.4 1062.5 1062.5 649.3 649.3 1062.5 /FontDescriptor 44 0 R Prenons par exemple $u=1+i$ et $v=2$, de sorte que $u/v$ peut être approché par $0$ ou $1$ (ou aussi par $i$ et $1+i$). Soient $x,y\in A$. (I\cap J)\subset I.J$. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vérifiant : au + bv = 1. 0 0 0 0 0 0 691.7 958.3 894.4 805.6 766.7 900 830.6 894.4 830.6 894.4 0 0 830.6 670.8 /Type/Font La preuve est facile et laissée au lecteur : le point clé est que si $p$ est premier avec $n$ et avec $n'$, alors $p$ est premier avec le produit $nn'$. 20 Entiers de Gauss et théorème des deux carrés ref : Perrin Théorème 20.1 1. 525 768.9 627.2 896.7 743.3 766.7 678.3 766.7 729.4 562.2 715.6 743.3 743.3 998.9 >> Que tu fasses ca tranquillement dans un coin, et si tu n'y arrives pas, de laisser reposer quelques heures etc. Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C (idéal, entiers de Gauss, ). 570 517 571.4 437.2 540.3 595.8 625.7 651.4 277.8] Trouvé à l'intérieur – Page 312Lorsque A = Z , et d = – 1 , ( A x A ) -1 s'appelle anneau des entiers de Gauss . 3. ... ( A x A ) , est isomorphe au produit direct A X A ( cf. exercice 2-31 ) , algèbre qu'on appelle extension quadratique dégénérée du corps A. Enfin ... On définit l'anneau des entiers de Gauss l'ensemble : Z [i] = {a + i b, a, b ∈ Z} Z [i] muni de φ: Z [i] → N a + b i ↦ {| a + b i | 2 = a 2 + b 2 si a + i b ≠ 0 − ∞ /LastChar 196 << $$A=\left(\begin{array}{ccc} endobj l'anneau des entiers de Gauss muni de l'automorphsime de conjugaison et de la . Alors $J$ est un idéal de $\mathbb Z$. Trouvé à l'intérieur – Page 20Z [ X ] / ( X2 + 1 ) , anneau des entiers de Gauss ; en envoyant X sur i ou –i , cet anneau s'identifie au sous - anneau ... Exercice 2.6 . Montrer que , si D ' est un diviseur de D , alors Z / D'Z est le quotient de Z / DZ par l'idéal ... 378.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 497.5 498.3 591.1] $$(i-j)(i+j)=0$$ Ainsi, $u-v$ et $au$ sont dans $I$ qui est un idéal. (a)Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour l'addition et la multiplication des nombres complexes. Si $x\in X$, alors $x\in X\cap Z$ et $x\notin Y$ d'où $x\notin Y\cap Z$, et de même, si $x\in Y$, alors $x\in Y\cap Z$ mais $x\notin X\cap Z$. 963 963 1222.2 1222.2 963 963 1222.2 963] /FontDescriptor 41 0 R $(I,+)$ étant un sous-groupe de $(A,+)$, on en déduit que L'idée est de s'inspirer très fortement de la notion intuitive que l'on a des fractions d'entiers. /Name/F8 Trouvé à l'intérieur – Page 83LEMME D'EUCLIDE Soient a et b deux entiers relatifs et soit p un nombre premier . ... Donc p divise b ( théorème de Gauss ) . ... L'exercice 5.3 donne un élément premier non irréductible dans un anneau non intègre . Exercices sur les anneaux et corps 1. /Subtype/Type1 Exercice 1. Puisque $I$ est maximal et que $J$ est entraine $x^k y^{n+m-k}\in I$. Trouvé à l'intérieur – Page 179L'exercice 13 consacré aux polygones à sommets entiers – dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont des entiers - exploite habilement l'anneau des entiers de Gauss . D'autres exercices sont notamment consacrés au porisme de ... Trouvé à l'intérieur – Page 173En particulier , les anneaux K [ X1 , ... , Xn ] où K est un corps sont factoriels . ... Généralisant le cas de Z , on a celui des entiers de Gauss : A = Z ( i ) et ola + Bi ) = a ? +32 ( voir l'exercice 7.10 ) . Remarque . Trouvé à l'intérieur – Page 244On a ainsi été conduit aux notions de groupe , d'anneau et de corps . La première situation a été rencontré en arithmétique avec Gauss et en algèbre avec Galois dans l'étude des équations ... Corrigés des exercices d'application , p . 12 0 obj Prendre $x\in A$ et considérer l'idéal engendré par $x$. Inversible dans un anneau 2. 306.7 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 511.1 306.7 306.7 Puisque les idéaux de $A/I$ sont en bijection avec les idéaux de $A$ contenant $I$, on en déduit Ainsi, $1=i+kx$. << Démontrer que $A$ est un corps. Montrons d'abord que $(\sqrt{I},+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$. Soit $k\geq 0$. 460.7 580.4 896 722.6 1020.4 843.3 806.2 673.6 835.7 800.2 646.2 618.6 718.8 618.8 Donc $E_{i,j}\in I$. En effet, on a $I_n\subset I=aA$, et $a\in I_N\subset I_n\implies aA\subset I_n$. 355.6 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 591.1 355.6 355.6 $$a_kb_k=i_kb_k+b_kj_k.$$ modulo 4 est un premier de Gauss. Démontrer que $I=\mathcal P(E')$ est un idéal de $A$. A quelle condition $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est-il principal? On en déduit que $x\in (X\cap Z)\Delta (Y\cap Z)$. /LastChar 196 Puisque $\mathbb Z$ est principal, il existe $d\in\mathbb N$ tel que $H=d\mathbb Z$. $I_1$ est un idéal de $\mathbb Z^2$ et la preuve est similaire pour $I_2$. un corps Kqui contient Q et est un Q-espace vectoriel de dimension nie) et anneau des entiers du corps de nombres Kl'ensemble Ades x2K entiers sur Z. C'est un anneau int egralement clos. Exercice 2. 777.8 1000 1000 1000 1000 1000 1000 777.8 777.8 555.6 722.2 666.7 722.2 722.2 666.7 Pour $d\in\mathbb N$, on note $A_d=\{(x,y)\in\mathbb Z^2;\ y-x\in d\mathbb Z\}$. I.J&=&\left\{i_1j_1+\dots+i_nj_n;\ n\geq 1,\ i_k\in I,\ j_k\in J\right\} Calculer $(xy)^p$ avec $p\geq \min(n,m)$. 18 5 Norme, trace, polynˆome caract´eristique. Exercice 4 [ 02239 ] [Correction] (Anneau des entiers de Gauss 1777-1855) On note Z[i] = a+ ib (a;b) 2Z2. /BaseFont/NYTBNU+CMMI10 On approche $x$ et $y$ par l'entier le plus proche : il existe $a\in \mathbb Z$ et $b\in\mathbb Z$ tels que $|x-a|\leq \frac 12$ et $|y-b|\leq \frac 12$. 1. 593.8 500 562.5 1125 562.5 562.5 562.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Puisque $I$ est un idéal, ceci entraine que $p^k=y\times\frac{b}{a'}\in I$. $$\left|\frac uv-q\right|<1.$$ Soit $A$ un anneau commutatif. Soient $\alpha,\beta$ tels $a^2+\alpha a+\beta=0$, avec $\Delta=\alpha^2-4\beta<0$ (conséquence de la question précédente). Pour cela, notons intègre. Par commutativité de $A$, on a aussi $xa=1_A$ et donc $a$ admet un inverse : $A$ est un corps. 1.Montrer que Z [i] est un sous-anneau de C appell´e l'anneau des entiers de Gauss. Ceci entraîne Soit $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq p$, on a $\deg(P_n)=\deg(P_p)$. D'après la formule du binôme, $(x+y)^{n+m}=\sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}{k}x^ky^{n+m-k}$. &\iff&I\textrm{ est premier.} >> 639.7 565.6 517.7 444.4 405.9 437.5 496.5 469.4 353.9 576.2 583.3 602.5 494 437.5 /Length 5501 351.8 935.2 578.7 578.7 935.2 896.3 850.9 870.4 915.7 818.5 786.1 941.7 896.3 442.6 /LastChar 196 Cette réunion est nécessairement finie, et en effectuant une petite récurrence à partir de la question précédente, on démontre que $E'\in I$. $J$ s'écrit $i+kx$, $i\in I$ et $k\in A$. 2.Montrer que la norme N : Z [i] !N definie par´ N(a+ib) = a2 +b2 est multiplicative. 795.8 795.8 649.3 295.1 531.3 295.1 531.3 295.1 295.1 531.3 590.3 472.2 590.3 472.2 Soit N : Z[i] → N définie par N(z) = |z| 2 . Exercice 4 [ 02239 ] [Correction] (Anneau des entiers de Gauss 1777-1855) On note Z[i] = a+ ib (a;b) 2Z2. On factorise $P$ en produit d'irréductibles, $P=P_1\cdots P_r$. D'après la question précédente, il existe $q\in \mathbb Z[i]$ tel que Mais $0=0+0\in I+J$. 386.1 885.5 591.1 591.1 885.5 865.5 816.7 826.7 875.5 756.7 727.2 895.3 896.1 471.7 Réciproquement, si $N(x)=\pm 1$, alors, et lui-même. 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 D'abord, il est clair que $I\subset J_{p^k}$. D'après le résultat de la première question, il suffit de vérifier que $p|\binom pk$ pour tout $k=1,\dots,p-1$. Entiers de Gauss, exercice de algèbre - Forum de mathématiques. Bonsoir, on considère l'anneau des entiers de Gauss . On identifie $\mathbb R$ avec $\mathbb R.1$, où $1$ est l'élément neutre de $A$ pour la multiplication.